Question

4．设函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{2cos\frac{π}{2}x，|x|≤1}\\{{x^2}-1，|x|＞1}\end{array}}\right.$，若|f（x）+f（x+l）-2|+|f（x）-f（x+l）≥2（l＞0）对任意实数x都成立，则l的最小值为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 令g（x，l）=|f（x）+f（x+l）-2|+|f（x）-f（x+l）|（l＞0）易知函数f（x）为偶函数，且f（x）≥0，g（x，l）≥2恒成立，所以g（-$\frac{l}{2}，l$）=2|f（$\frac{l}{2}$）-1|≥2．可得f（$\frac{l}{2}$）≤0或f（$\frac{l}{2}$）≥2，即$\frac{l}{2}=1$，或$\frac{l}{2}≥\sqrt{3}$．
分类讨论即可求解．

解答 解：令g（x，l）=|f（x）+f（x+l）-2|+|f（x）-f（x+l）|（l＞0）
易知函数f（x）为偶函数，且f（x）≥0，
g（x，l）≥2恒成立，所以g（-$\frac{l}{2}，l$）=2|f（$\frac{l}{2}$）-1|≥2．
∴f（$\frac{l}{2}$）≤0或f（$\frac{l}{2}$）≥2，即$\frac{l}{2}=1$，或$\frac{l}{2}≥\sqrt{3}$．
①若l=2，由g（-$\frac{l}{2}，2$）=）=|$\frac{5}{4}$+$\sqrt{2}$-2|+|$\frac{5}{4}-\sqrt{2}$|=2$\sqrt{2}-2$＜2，不合题意．
②若l≥2$\sqrt{3}$，则max{|x|，|x+2$\sqrt{3}$|}$≥\sqrt{3}$，故max{f（x），f（x+l）}≥2．
从而g（x，l）=|f（x）+f（x+l）-2|+|f（x）-f（x+l）|
≥max{f（x）+f（x+l）-2+f（x）-f（x+l），f（x）+f（x+l）-2-|f（x）+f（x+l）}
≥max{2f（x）-2，2f（x+l）-2}≥2，从而${l}_{min}=2\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了函数不等式恒成立问题，分类讨论思想，绝对值不等式的性质，属于难题．