Question

2．椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的左、右焦点分别为F₁，F₂，弦AB过F₁，若△ABF₂的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则|y₁-y₂|的值为$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 由已知求出椭圆的焦点分别为F₁（-3，0）、F₂（3，0），△ABF₂的内切圆半径r=$\frac{1}{2}$，△ABF₂的面积S=$\frac{1}{2}$（|AB|+|AF₂|+|BF₂|）×r=5，再由△ABF₂的面积S=${S}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}+{S}_{△B{F}_{1}{F}_{2}}$=4|y₂-y₁|，由此能求出|y₁-y₂|的值．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$中，a²=25且b²=16，
∴a=5，c=$\sqrt{25-16}=3$，
∴椭圆的焦点分别为F₁（-3，0）、F₂（3，0），
设△ABF₂的内切圆半径为r，
∵△ABF₂的内切圆周长为π，∴r=$\frac{1}{2}$，
根据椭圆的定义，得|AB|+|AF₂|+|BF₂|=（|AF₁|+|AF₂|）+（|BF₁|+|BF₂|）=4a=20．
∴△ABF₂的面积S=$\frac{1}{2}$（|AB|+|AF₂|+|BF₂|）×r=$\frac{1}{2}$×20×$\frac{1}{2}$=5，
又∵△ABF₂的面积S=${S}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}+{S}_{△B{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×|y₁|×|F₁F₂|+$\frac{1}{2}$×|y₂|×|F₁F₂|
=$\frac{1}{2}$×（|y₁|+|y₂|）×|F₁F₂|=4|y₂-y₁|（A、B在x轴的两侧），
∴4|y₁-y₂|=5，解得|y₁-y₂|=$\frac{5}{4}$．
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查两点纵坐标之差的绝对值的求法，考查椭圆性质的合理运用，是中档题．