Question

12．向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=2，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），则向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为（　　）

• A． 45°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 120°

Answer 1

分析 可由$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）⊥（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$得出$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）=0$，根据$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{2}，|\overrightarrow{b}|=2$进行数量积的运算即可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，从而便可得出向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）⊥（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$；
∴$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$
=$2{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{b}}^{2}$
=$4+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-4$
=0；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$；
∴$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$；
∴向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$夹角为90°．
故选C．

点评 考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的概念．