Question

7．设复数z=a+bi（a，b∈R，a＞0，i是虚数单位），且复数z满足|z|=$\sqrt{10}$，复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．
（1）求复数z；
（2）若$\overline{z}$+$\frac{m-i}{1+i}$为纯虚数（其中m∈R），求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）直接由题意列关于a，b的方程组，求解得答案；
（2）把z代入$\overline{z}$+$\frac{m-i}{1+i}$，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得m的值．

解答 解：（1）由（1+2i）z=（1+2i）（a+bi）=（a-2b）+（2a+b）i
在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，
得a-2b=2a+b，∴a=-3b，
又|z|=$\sqrt{10}$，得a²+b²=10．
联立解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=1}\end{array}\right.$．
∵a＞0，∴z=3-i；
（2）∵$\overline{z}$+$\frac{m-i}{1+i}$=3+i+$\frac{m-i}{1+i}$=3+i+$\frac{（m-i）（1-i）}{（1+i）（1-i）}$=$3+i+\frac{m-1-（m+1）i}{2}$=$\frac{m+5}{2}-\frac{m-1}{2}i$为纯虚数，
∴m=-5．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．