Question

8．在△ABC中，$\overrightarrow{BD}$=m$\overrightarrow{BC}$（0＜m＜1），AC=3，AD=$\sqrt{7}$，C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）求△ACD的面积；
（Ⅱ）若cosB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，求AB的长度以及∠BAC的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ADC中，利用余弦定理即可求得丨CD丨，则S=$\frac{1}{2}$×丨AC丨×丨CD丨，即可求得△ACD的面积；
（Ⅱ）由正弦定理即可求得丨AB丨，sin∠BAC=sin（B+C）利用两角和的正弦公式及同角三角函数的基本关系即可求得sin∠BAC．

解答 解：（Ⅰ）在△ADC中，由余弦定理可知：cosC=$\frac{丨{AC丨}^{2}+丨CD{丨}^{2}-丨AD{丨}^{2}}{2丨AC丨•丨CD丨}$=$\frac{{3}^{2}+丨CD{丨}^{2}-7}{2×3×丨CD丨}$=$\frac{1}{2}$，
整理得：丨CD丨²-3丨CD丨+2=0，解得：丨CD丨=1或丨CD丨=2，
当丨CD丨=1时，△ACD的面积S=$\frac{1}{2}$×丨AC丨×丨CD丨=$\frac{1}{2}$×3×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
当丨CD丨=2时，△ACD的面积S=$\frac{1}{2}$×丨AC丨×丨CD丨=$\frac{1}{2}$×3×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴△ACD的面积$\frac{3\sqrt{3}}{4}$或$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
（Ⅱ）由C=$\frac{π}{3}$，则sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosC=$\frac{1}{2}$，
cosB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{1}{4}$
由正弦定理可知：$\frac{丨AC丨}{sinB}$=$\frac{丨AB丨}{sinC}$，
则丨AB丨=$\frac{丨AC丨sinC}{sinB}$=6$\sqrt{3}$，
sin∠BAC=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{15}}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{5}+1}{8}$，
∠BAC的正弦值$\frac{3\sqrt{5}+1}{8}$．

点评 本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，两角和的正弦公式，考查计算能力，属于中档题．