Question

16．如图，四棱锥D-ABCM中，AD=DM，且AD⊥DM，底面四边形ABCM是直角梯形，AB⊥BC，MC⊥BC，且AB=2BC=2CM=4，平面AMD⊥平面ABCM．
（Ⅰ）求证：AD⊥BD
（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，四棱锥M-ADE的体积为$\frac{4\sqrt{2}}{9}$？

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AM⊥BM，从而BM⊥平面DAM，由此能证明AD⊥BD．
（Ⅱ）由BM⊥平面ADM，BM=2$\sqrt{2}$，由V_M-ADE=V_E-ADM，能求出E为BD的三等分点时，四棱锥M-ADE的体积为$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．

解答 证明：（Ⅰ）∵四边形ABCM是直角梯形，AB⊥BC，MC⊥BC，
AB=2BC=2MC=4，
∴BM=AM=2$\sqrt{2}$，
∴BM²+AM²=AB²，即AM⊥BM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，
BM?平面ABCM，
∴BM⊥平面DAM，又DA?平面DAM，
∴AD⊥BD．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BM⊥平面ADM，BM=2$\sqrt{2}$，
设$\frac{DE}{BD}=λ$，则E到平面ADM的距离d=2$\sqrt{2}$λ，
∵△ADM是等腰直角三角形，AD⊥DM，AM=2$\sqrt{2}$，
∴AD=DM=2，
∴V_M-ADE=V_E-ADM=$\frac{1}{3}{S}_{△AMD}•d$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
即$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2\sqrt{2}λ=\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
解得$λ=\frac{1}{3}$，
∴E为BD的三等分点．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定及求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．