Question

3．已知函数f（x）=e^x+lnx+$\frac{a}{x}$，a∈R．
（1）设曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=ex-1平行，求此切线方程；
（2）当a=0时，令函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2b}$x²-e^x（b∈R，b≠0），求函数g（x）在定义域内的极值点；
（3）令h（x）=f（x）-e^x，?x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，都有h（x₁）-h（x₂）＜x₂-x₁成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=ex-1平行，求出a，可得切点坐标，即可求此切线方程
（2）分类讨论，求导数，利用极值的定义，可得函数g（x）在定义域内的极值点；
（3）由题意，等价于f（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，从而a≤x²+x在x∈[1，+∞）上恒成立，即可求a的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=e^x+lnx+$\frac{a}{x}$，a∈R的导数f′（x）=e^x+$\frac{1}{x}-\frac{a}{{x}^{2}}$，
∵曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=ex-1平行，∴f′（1）=e，
即e+1-a=e，解得a=1．∴f（x）=e^x+lnx+$\frac{1}{x}$，f（1）=e+1
即切点为（1，e+1），所以切线方程为y-（e+1）=e（x-1），
∴y=ex+1为所求．
（2）当a=0时，函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2b}$x²-e^x（b∈R，b≠0），整理得g（x）=lnx-$\frac{1}{2b}{x}^{2}$，定义域为x∈（0，+∞），
g′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{x}{b}=\frac{b-{x}^{2}}{bx}$，
①当b＜0时，∴g′（x）＞0恒成立，∴g（x）在x∈（0，+∞）上为增函数，∴g（x）在定义域内无极值； 
②当b＞0时，令g′（x）=0，∴x=$\sqrt{b}$或x=-$\sqrt{b}$（舍去），
x$∈（0，\sqrt{b}）$时，g′（x）＞0，x$∈（\sqrt{b}，+∞）$时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，$\sqrt{b}$）递增，在（$\sqrt{b}$，+∞）递减，∴g（x）的极大值点为$\sqrt{b}$，无极小值点； 
综上：当b＜0时，g（x）在定义域内无极值；b＞0时，g（x）的极大值点为$\sqrt{b}$，无极小值点．
（3）h（x）=f（x）-e^x=lnx+$\frac{a}{x}$．
?x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，都有h（x₁）-h（x₂）＜x₂-x₁成立，
??x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，都有h（x₁）+x₁＜h（x₂）+x₂成立．
??x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，都有lnx₁+$\frac{a}{{x}_{1}}$+x₁＜lnx₂+$\frac{a}{{x}_{2}}$+x₂成立．
令F（x）=lnx+$\frac{a}{x}+x$，即F（x₁）＜F（x₂），等价于F（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，
∴F′（x）=$\frac{1}{x}+1-\frac{a}{{x}^{2}}=\frac{{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，
即a≤x²+x在x∈[1，+∞）上恒成立，
令y=x²+x，只需a≤y_min即可．∵y在x∈[1，+∞）上为增函数，
∴当x=1时，y_min=2，∴a≤2．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义、函数的极值、恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．属于难题．