Question

3．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$m（x-1）²-2x+3+lnx（m≥1）．
（1）求证：函数f（x）在定义域内存在单调递减区间[a，b]；
（2）是否存在实数m，使得曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令f′（x）=0，因为△＞0，所以方程存在两个不等实根，根据条件进一步可得方程有两个不等的正根，从而得到函数f（x）存在单调递减区间；
（2）先求出函数y=f（x）在点P（1，1）处的切线l的方程，若切线l与曲线C只有一个公共点，则只需方程f（x）=-x+2有且只有一个实根即可．

解答 （1）证明：令f′（x）=0，得mx²-（m+2）x+1=0．  （*）
因为△=（m+2）²-4m=m²+4＞0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b（a＜b）．
因为m≥1，所以a+b=$\frac{m+2}{m}$＞0，ab=$\frac{1}{m}$＞0，
所以a＞0，b＞0，即方程（*）有两个不等的正根，因此f′（x）≤0的解为[a，b]．
故函数f（x）存在单调递减区间；
（2）解：因为f′（1）=-1，所以曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l为y=-x+2．
若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程$\frac{1}{2}$m（x-1）²-2x+3+lnx=-x+2有且只有一个实根．
显然x=1是该方程的一个根．
令g（x）=$\frac{1}{2}$m（x-1）²-x+1+lnx，则g′（x）=$\frac{m（x-1）（x-\frac{1}{m}）}{x}$．
当m=1时，有g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以x=1是方程的唯一解，m=1符合题意．
当m＞1时，令g′（x）=0，得x₁=1，x₂=$\frac{1}{m}$，则x₂∈（0，1），易得g（x）在x₁处取到极小值，在x₂处取到极大值．
所以g（x₂）＞g（x₁）=0，又当x→0时，g（x）→-∞，所以函数g（x）在（0，$\frac{1}{m}$）内也有一个解，即当m＞1时，不合题意．
综上，存在实数m，当m=1时，曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与C有且只有一个公共点．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及导数的几何意义，同时考查了转化的思想，属于中档题．