Question

7．如果圆柱的轴截面的周长l为定值，则圆柱体积的最大值为（　　）

• A． （$\frac{l}{6}$）³π
• B． （$\frac{l}{3}$）³π
• C． （$\frac{l}{4}$）³π
• D． $\frac{1}{4}$（$\frac{l}{4}$）³π

Answer 1

分析 设圆柱的底面半径为r，高为h．可得4r+2h=l，可得h=$\frac{l-4r}{2}$．圆柱体积V=πr²×h=$\frac{π}{8}$×2r×2r×（l-4r），再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：设圆柱的底面半径为r，高为h．
∴4r+2h=l，∴h=$\frac{l-4r}{2}$．
∴圆柱体积V=πr²×h=πr²×$\frac{l-4r}{2}$=$\frac{π}{8}$×2r×2r×（l-4r）≤$\frac{π}{8}$×$（\frac{2r+2r+l-4r}{3}）^{3}$=$（\frac{l}{6}）^{3}π$．当且仅当r=$\frac{l}{6}$时取等号．
故选：A．

点评 本题考查了圆柱的轴截面性质、体积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．