Question

9．若△ABC的内角A，C，B成等差数列，且△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，则AB边的最小值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由条件利用等差数列的定义求得C=$\frac{π}{3}$，再利用三角形的面积公式求得ab=8，再利用余弦定理，基本不等式即可求得AB边的最小值．

解答 解：△ABC中，A、C、B成等差数列，故2C=A+B，故C=$\frac{π}{3}$，A+B=$\frac{2π}{3}$．
∵△ABC的面积为$\frac{1}{2}$•ab•sinC=$\frac{1}{2}×ab×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴ab=8，
∴AB²=c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab=8，（当且仅当a=b时等号成立），
∴AB边的最小值为2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查等差数列的定义，三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想的应用，属于基础题．