Question

16．如图，在等腰直角△ABO中，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，C为AB上靠近A点的三等分点，过C作AB的垂线l，设P为垂线上任一点，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{p}$，则$\overrightarrow{p}$•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． -$\frac{1}{3}$
• C． -$\frac{3}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 P在线段AB的垂直平分线上，通过向量的加减运算，向量的数量积的运算即可得到结果．

解答 解：∵等腰直角△ABO中，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，
C为AB上靠近A点的三等分点，过C作AB的垂线l，设P为垂线上任一点，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{p}$，
设AB中点为D，则$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OA}$．
∵$\overrightarrow{CP}$⊥$\overrightarrow{AB}$，∴$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{CP}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，
∴$\overrightarrow{p}$•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=$\overrightarrow{OP}$•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）=（$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{CP}$）•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{AB}$
=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{AB}$+0=（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）=$\frac{{\overrightarrow{OB}}^{2}}{3}$-$\frac{{2\overrightarrow{OA}}^{2}}{3}$+$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{3}$
=$\frac{1}{3}$-$\frac{2}{3}$+0=-$\frac{1}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查线段垂直平方线的性质、向量的运算法则、向量模的平方等于向量的平方，考查转化计算能力，属于中档题．