Question

2．已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=2log_a（2x+t）（t∈R），a＞0，且a≠1．
（Ⅰ）若3是关于x的方程f（x）-g（x）=0的一个解，求t的值；
（Ⅱ）当0＜a＜1且t=1时，解不等式f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若函数F（x）=a^f（x）+tx²-2t+1在区间（-1，3]上有零点，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得log_a4-2log_a（6+t）=0，从而解得t的值；
（Ⅱ）由题意得log_a（x+1）≤2log_a（2x+1），由对数函数的单调性可得$\left\{\begin{array}{l}{x+1≥（2x+1）^{2}}\\{2x+1＞0}\end{array}\right.$，从而得解．
（3）化简F（x）=tx²+x-2t+2，从而令tx²+x-2t+2=0，讨论可得$\frac{1}{t}$=-[（x+2）+$\frac{2}{x+2}$]+4，从而得解．

解答 解：（Ⅰ）∵3是关于x的方程f（x）-g（x）=0的一个解，
∴log_a4-2log_a（6+t）=0，
∴2=（2+t）²，
∴t=-4．…（2分）
（Ⅱ）当0＜a＜1且t=1时，不等式f（x）≤g（x）化为$\left\{\begin{array}{l}{x+1≥（2x+1）^{2}}\\{2x+1＞0}\end{array}\right.$，∴-$\frac{1}{2}＜x≤0$
∴解集为：{x|-$\frac{1}{2}＜x≤0$}；…（5分）
（Ⅲ）F（x）=a^f（x）+tx²-2t+1
=x+1+tx²-2t+1=tx²+x-2t+2，
令tx²+x-2t+2=0，
即t（x²-2）=-（x+2），
∵x∈（-1，3]，∴x+2∈（1，5]，
∴t≠0，x²-2≠0；
∴$\frac{1}{t}$=-[（x+2）+$\frac{2}{x+2}$]+4，
∵2$\sqrt{2}$≤（x+2）+$\frac{2}{x+2}$≤$\frac{27}{5}$，
∴-$\frac{7}{5}$≤-[（x+2）+$\frac{2}{x+2}$]+4≤4-2$\sqrt{2}$，
∴t≤-$\frac{5}{7}$或t≥$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了对数函数的性质的判断与应用，同时考查了复合函数的性质的判断与应用及不等式的解法．