Question

已知函数f（x）=x³+mx²-m²x+1（m为常数，且m＞0），当x=-2时有极大值．
（1）求m的值，及其函数的单调区间；
（2）若曲线y=f（x）过点（-1，f（-1））的切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：（1）先求出函数的导数，求出m的值，从而求出函数的单调区间，（2）求出f（-1），f′（-1）的值，从而求出曲线的切线方程．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2mx-m²；
∴f′（-2）=12-4m-m²=0，解得：m=2，或-6（舍去）；
∴f′（x）=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2），
令f′（x）＞0，解得：x＞

2

3

，或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜

2

3

，
∴f（x）在（-∞，-2）和（

2

3

，+∞）递增，在（-2，

2

3

）递减；
（2）由（1）得：f（x）=x³+2x²-4x+1，
∴f（-1）=6，f′（-1）=-5，
∴切线方程为：5x+y-1=0．

点评：本题考查了函数的单调性，考查曲线的切线方程，是一道中档题．