Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x²+4x．
（1）求函数的解析式；
（2）画出函数的大致图象，并求出函数的值域；
（3）若k∈R，试讨论方程f（x）=k实数解的个数．

Answer 1

分析：（1）利用函数f（x）是偶函数，及x≤0时，f（x）=x²+4x，可以设x＞0，可得-x＜0，代入上式即可求解；
（2）利用函数的解析式，利用描点法画出函数的图象，利用图象求出其值域；
（3）方程f（x）=k，方程有解的问题利用数形结合的方法进行求解；

解答：解：（1）设x＞0，可得-x＜0，∵当x≤0时，f（x）=x²+4x，
∴f（-x）=（-x）²+4（-x）=x²-4x，∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得f（-x）=f（x），
∴f（x）=f（-x）=x²-4x，
∴f(x)=

x2+4x，x∈(-∞，0] x2-4x，x∈(0，+∞)

…（4分）

（2）图象如图
如上图可知：f（x）的值域为：值域为f（x）∈[-4，+∞）…（8分）
（3）方程f（x）=k实数解，令y=k与f（x）有交点，
利用上图可知：当k∈（-∞，-4）时，方程无解；
当k∈（0，+∞）或k=-4时，方程有两解；
当k=0时，方程有三解；
当k∈（-4，0）时，方程有四解；                    …（12分）

点评：此题主要考查偶函数的性质及其解析式的求法，利用数形结合的方法求方程解的个数，是一道基础题；