Question

15．（1）求在区间[-3，3]上随机取一个数x，使得|x+1|-|x-2|≥1成立的概率．
（2）设函数f（x）=|x+$\frac{1}{a}$|+|x-a|，（a＞0），若f（3）＜5，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间[-3，3]的长度求比值即得；
（2）f（3）＜5，即|3+$\frac{1}{a}$|+|3-a|＜5，再分类讨论求得a的范围，综合可得结论．

解答 解：（1）由|x+1|-|x-2|≥1可得
x＜-1时，-x-1+x-2≥1，无解；
-1≤x≤2时，x+1+x-2≥1，
解得：x≥1，
∴1≤x≤2；
x＞2时，x+1-x+2≥1，
解得：x＞2，
∴满足区间[-3，3]上的解集为[1，3]，
所以概率P=$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，
（2）在函数f（x）=|x+$\frac{1}{a}$|+|x-a|，（a＞0），
由f（3）＜5，可得|3+$\frac{1}{a}$|+|3-a|＜5，其中a＞0，
下面对a进行分类讨论，
①a＞3时，f（3）=3+$\frac{1}{a}$+a-3＜5，可以解得3＜a＜$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$；
②0＜a≤3时，f（3）=3+$\frac{1}{a}$+3-a＜5，可以解得$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$＜a≤3，
综上，$a∈（{\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}，\frac{{5+\sqrt{21}}}{2}}）$

点评 本题主要考查了几何概型的定义与应用，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．