Question

5．已知圆C在x轴上且过点A（-1，1），B（1，3）．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线y=kx（k∈R）与圆C相交于M，N两点且$\overrightarrow{CM}$与$\overrightarrow{CN}$夹角的余弦值等于-$\frac{4}{5}$，求直线方程．

Answer 1

分析 （1）设圆心（a，0），则$\sqrt{（a+1）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{（a-1）^{2}+{3}^{2}}$，由此求出圆心C和半径r，从而能求出圆C的方程．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=10}\end{array}\right.$，得（k²+1）x²-4x-6=0，由此利用韦达定理、向量夹角的余弦值求出k，由此能求出直线方程．

解答 解：（1）∵圆C在x轴上且过点A（-1，1），B（1，3），
∴设圆心（a，0），则$\sqrt{（a+1）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{（a-1）^{2}+{3}^{2}}$，
解得a=2，
∴圆心C（2，0），半径r=$\sqrt{（2+1）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴圆C的方程为（x-2）²+y²=10．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=10}\end{array}\right.$，得（k²+1）x²-4x-6=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），C（2，0），
则$\overrightarrow{CM}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{CN}$=（x₂-2，y₂），
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4}{{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{-6}{{k}^{2}+1}$，y₁y₂=k²x₁x₂=$\frac{-6{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$，
∵$\overrightarrow{CM}$与$\overrightarrow{CN}$夹角的余弦值等于-$\frac{4}{5}$，
∴cos＜$\overrightarrow{CM}，\overrightarrow{CN}$＞=$\frac{\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}}{|\overrightarrow{CM}|•|\overrightarrow{CN}|}$
=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}-4{x}_{1}+4+{{y}_{1}}^{2}}•\sqrt{{{x}_{2}}^{2}-4{x}_{2}+4+{{y}_{2}}^{2}}}$
=$\frac{\frac{-6}{{k}^{2}+1}+\frac{-6{k}^{2}}{{k}^{2}+1}-\frac{8}{{k}^{2}+1}+4}{\sqrt{10}•\sqrt{10}}$=-$\frac{4}{5}$，
解得k²=$\frac{1}{3}$，
∴k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线方程为$y=±\frac{\sqrt{3}}{3}x$．

点评 本题考查圆的方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、两点间距离公式、韦达定理的合理运用．