Question

13．已知$\overrightarrow a$=（1，0），$\overrightarrow b$=（1，2$\sqrt{3}$）．
（1）求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow a$+$\vec b$的夹角；
（2）已知（$\overrightarrow a$-2$\vec b$）∥（λ$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$），求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的夹角公式计算即可，
（2）利用向量的坐标运算和向量平行的条件可得到关于λ的方程，解得即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a=（1，0）$，$\overrightarrow b=（1，2\sqrt{3}）$，
∴$\overrightarrow a+\overrightarrow b=（2，2\sqrt{3}）$，
∴$|\overrightarrow a|=\sqrt{{1^2}+{0^2}}=1$，$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|=\sqrt{{2^2}+{{（2\sqrt{3}）}^2}}=4$，
设$\overrightarrow a$与$\overrightarrow a+\overrightarrow b$的夹角为θ，则$cosθ=\frac{\overrightarrow a•（\overrightarrow a+\overrightarrow b）}{|\overrightarrow a||\overrightarrow a+\overrightarrow b|}=\frac{{（1，0）•（2，2\sqrt{3}）}}{1×4}=\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow a$与$\overrightarrow a+\overrightarrow b$的夹角为60⁰．
（2）∵$\overrightarrow a=（1，0）$，$\overrightarrow b=（1，2\sqrt{3}）$，
∴$\overrightarrow a-2\overrightarrow b=（-1，-4\sqrt{3}）$，$λ\overrightarrow a+\overrightarrow b=（λ+1，2\sqrt{3}）$．
又∵$（\overrightarrow a-2\vec b）∥（λ\overrightarrow a+\overrightarrow b）$，
∴$（-1）×2\sqrt{3}-（-4\sqrt{3}）×（λ+1）=0$，
解得：$λ=-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了向量的坐标运算和向量的平行以及向量的夹角公式，属于基础题．