Question

设点P在曲线y=

1

2

e^x上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,两点间距离公式的应用

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：由于函数y=

1

2

e^x与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数y=

1

2

e^x上的点P（x，

1

2

e^x）到直线y=x的距离为d=

| 1 2 ex-x|

2

，设g（x）=

1

2

e^x-x，求出g（x）_min=1-ln2，即可得出结论．

解答： 解：∵函数y=

1

2

e^x与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称
函数y=

1

2

e^x上的点P（x，

1

2

e^x）到直线y=x的距离为d=

| 1 2 ex-x|

2

设g（x）=

1

2

e^x-x，（x＞0）则g′（x）=

1

2

e^x-1
由g′（x）=

1

2

e^x-1≥0可得x≥ln2，
由g′（x）=

1

2

e^x-1＜0可得0＜x＜ln2
∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增
∴当x=ln2时，函数g（x）_min=1-ln2，d_min=

1-ln2

2

由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为2d_min=

2

(1-ln2)．
故答案为：

2

(1-ln2)．

点评：本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好．