Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一个焦点是F₂（2，0），且b=

3

a．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设经过焦点F₂的直线l的一个法向量为（m，1），当直线l与双曲线C的右支相交于A，B不同的两点时，求实数m的取值范围；并证明AB中点M在曲线3（x-1）²-y²=3上．
（3）设（2）中直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，问是否存在实数m，使得∠AOB为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据半焦距c和a与b的关系联立方程求得a和b，则双曲线方程可得．
（2）把直线l与双曲线方程联立消去y，根据判别式大于0判断出直线与双曲线定有交点，进而根据韦达定理求得焦点横坐标的和与积得表达式，根据双曲线的性质求得m的范围．设A，B的坐标，则可知其中点的坐标，代入曲线3（x-1）²-y²=3等式成立，可判断出AB的中点在此曲线上．
（3）设存在实数m，使∠AOB为锐角，根据

OA

•

OB

＞0判断出x₁x₂+y₁y₂＞0，根据（2）中求得x₁x₂的表达式，进而可去知y₁y₂的表达式，进而求得根据x₁x₂+y₁y₂＞0求得m的范围，结果与m²＞3矛盾，假设不成立，判断出这样的实数不存在．

解答：解：（1）c=2c²=a²+b²
∴4=a²+3a²∴a²=1，b²=3，∴双曲线为x2-

y2

3

=1．
（2）l：m（x-2）+y=0由

y=-mx+2m x2- y2 3 =1

得（3-m²）x²+4m²x-4m²-3=0
由△＞0得4m⁴+（3-m²）（4m²+3）＞012m²+9-3m²＞0即m²+1＞0恒成立
又

x1+x2＞0 x1•x2＞0

4m2

m2-3

＞0

4m2+3

m2-3

＞0
∴m²＞3∴m∈(-∞，-

3

)∪(

3

，+∞)
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x1+x2

2

=

2m2

m2-3

y1+y2

2

=-

2m3

m2-3

+2m=

-6m

m2-3

∴AB中点M(

2m2

m2-3

，-

6m

m2-3

)
∵3(

2m2

m2-3

-1)2-

36m2

(m2-3)2

=3×

(m2+3)2

(m2-3)2

-

36m2

(m2-3)2

=3•

m4+6m2+9-12m2

(m2-3)2

=3
∴M在曲线3（x-1）²-y²=3上．

（3）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设存在实数m，使∠AOB为锐角，则

OA

•

OB

＞0
∴x₁x₂+y₁y₂＞0
因为y₁y₂=（-mx₁+2m）（-mx₂+2m）=m²x₁x₂-2m²（x₁+x₂）+4m²
∴（1+m²）x₁x₂-2m²（x₁+x₂）+4m²＞0
∴（1+m²）（4m²+3）-8m⁴+4m²（m²-3）＞0即7m²+3-12m²＞0
∴m2＜

3

5

，与m²＞3矛盾
∴不存在

点评：本题主要考查了双曲线的应用，考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．