Question

（本小题满分14分）
已知四棱锥，底面为矩形，侧棱，其中，为侧棱上的两个三等分点，如图所示.

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）略（2）（3）

（Ⅰ）证明：连结交于，连结 ， 

，
，                               ………… 1分
，
，
 ，                               ………… 3分
，
.                          ………… 4分
（Ⅱ）如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，        
     
则，，，，
，，,
,                               
………………………5分
,     
………………………7分
异面直线与所成角的余弦值为 .                                         ………………………8分
（Ⅲ）侧棱,
,                                                ………………………9分
设的法向量为,
，并且,
，令得，,
的一个法向量为       .                                               ………………………11分
,                                                                   ………………………13分
由图可知二面角的大小是锐角,
二面角大小的余弦值为  .                                                .…………………14分