Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量 =（﹣1，2），又点A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）．
（1）若 ⊥ ，且| |= | |，求向量 ；
（2）若向量 与向量 共线，常数k＞0，求f（θ）=tsinθ的值域；
（3）当（2）问中f（θ）的最大值4时，求 ．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，∵ ，

∴8﹣n+2t=0

又 ，∴（n﹣8）2+t2=5×64得t=±8，

∴ 或（﹣8，﹣8）

（2）解： ，

∵向量 与向量 共线，

∴t=﹣2ksinθ+16，f（θ）=tsinθ=（﹣2ksinθ+16）sinθ=

① ，∴ 时，f（θ）=tsinθ取最大值为 ，

sinθ=﹣1时，f（θ）取得最小值为﹣2k﹣16，

此时函数的值域为[﹣2k﹣16， ]

② ，

∴sinθ=1时，tsinθ取最大值为﹣2k+16，

sinθ=﹣1时，f（θ）取得最小值为﹣2k﹣16，

此时函数的值域为[﹣2k﹣16，﹣2k+16]．

（3）解：①当k＞4时，由 =4，得k=8，此时 ， ，

∴

②当0＜k＜4时，由﹣2k+16=4，得k=6，（舍去）

综上所述，∴ =32

【解析】（1）利用向量垂直的坐标表示及向量模的坐标表示，列出关于n，t的方程组，并解即可．（2）向量 与向量 共线，得出f（θ）=tsinθ=（﹣2ksinθ+16）sinθ，利用配方法结合一元二次函数的最值性质进行求解．（3）根据（2）问中f（θ）的最大值4时，建立方程关系求出k或θ，求 即可．