Question

一只红铃虫的产卵数y和温度x有关.现收集了7组观测数据列于表1中，试建立y与x之间的回归方程.

表1

温度 x/℃	21	23	25	27	29	32	35
产卵数y/个	7	11	21	24	66	115	325

Answer 1

解析：根据收集的数据作散点图（图1）.

    在散点图中，样本点并没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈现线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y=的周围，其中c₁和c₂是待定参数.

现在，问题变为如何估计待定参数c₁和c₂.我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系.令z=lny，则变换后样本点应该分布在直线z=bx+a(a=lnc₁,b=c₂)的周围.这样，就可以利用线性回归模型来建立y和x之间的非线性回归方程了.由表1的数据可以得到变换后的样本数据表2，图2给出了表2中数据的散点图.从图2中可以看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合.

表2

x	21	23	25	27	29	32	35
z	1.946	2.398	3.045	3.178	4.190	4.745	5.784

由表2中的数据得到线性回归方程

=0.272x-3.843.

因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为

=e ^0.272x-3.843.(1)

另一方面，可以认为图1中样本点集中在某二次曲线y=c₃x²+c₄的附近，其中c₃和c₄为待定参数.因此可以对温度变量做变换，即令t=x²，然后建立y与t之间的线性回归方程，从而得到y与x之间的非线性回归方程.

表3是红铃虫的产卵数和对应的温度的平方，图3是相应的散点图.

表3

t	441	529	625	729	841	1 024	1 225
Y	7	11	21	24	66	115	325

    从图3中可以看出，y与t的散点图并不分布在一条直线的周围，因此不宜用线性回归方程来拟合它，即不宜用二次曲线y=c₃x²+c₄来拟合y和x之间的关系.这个结论还可以通过残差分析得到.