Question

一只红铃虫的产卵数y和温度x有关,现收集了7组观测数据列成下表,试建立y与x之间的回归方程.

温度x/℃	21	23	25	27	29	32	35
产卵数y/个	7	11	21	24	66	115	325

Answer 1

解:根据收集的数据,作散点图,如图.

    从图中可以看出,样本点并没有分布在某个带状区域内,因此两个变量不呈线性相关关系,所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系,根据已有的函数知识,可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y=c₁的附近,其中c₁、c₂为待定的参数.我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系,令z=ln y,则变换后样本点分布在直线z=bx+a(a=ln c₁,b=ln c₂)的附近,这样可以利用线性回归建立y与x的非线性回归方程了.变换的样本点分布在一条直线的附近,因此可以用线性回归方程来拟合.

    由上表中的数据可得到变换的样本数据表,如下表:

x	21	23	25	27	29	32	35
z	1.946	2.398	3.045	3.178	4.190	4.745	5.784

    可以求得线性回归直线方程为=0.272x-3.843.

    因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为=e^0.272x-3.843.另一方面,可以认为图中的样本点集中在某二次曲线y=c₃x²+c₄的附近,其中c₃,c₄为待定参数,因此可以对温度变量进行变换,即令t=x²,然后建立y与t之间的线性回归方程,从而得到y与x之间的非线性回归方程.

    下表是红铃虫的产卵数和对应的温度的平方的线性回归模型拟合表,作出相应的散点图,如图:

t	441	529	625	729	841	1 024	1 225
y	7	11	21	24	66	115	325

从图中可以看出,y与t的散点图并不分布在一条直线的周围,因此不宜用线性回归方程来拟合它,即不宜用二次函数y=c₃x²+c₄来拟合x与y之间的关系,因此利用=e^0.272x-3.843来拟合效果较好.