Question

3．母线长为1的圆锥的侧面展开图的面积是$\frac{2}{3}$π，则该圆锥的体积为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{2}}{81}$π
• B． $\frac{8}{81}$π
• C． $\frac{4\sqrt{5}}{81}$π
• D． $\frac{10}{81}$π

Answer 1

分析 求出圆锥的侧面展开图扇形的弧长，再求底面半径，求出圆锥的高，即可求它的体积．

解答 解：∵母线长为1的圆锥的侧面展开图的面积是$\frac{2}{3}$π，
∴扇形的弧长=$\frac{π}{3}$
圆锥的侧面展开图扇形的弧长，即底面圆的周长为$\frac{4}{3}$π•1=$\frac{4}{3}$π，于是设底面圆的半径为r，
则有2πr=$\frac{4}{3}$π，所以r=$\frac{2}{3}$，
于是圆锥的高为h=$\sqrt{1-\frac{4}{9}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
该圆锥的体积为：$\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}）^{2}×π×\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{4\sqrt{5}}{81}$π．
故选C．

点评 本题考查圆锥的体积，考查计算能力，是基础题．