Question

已知点G是△ABC的重心,A(0,-1),B(0,1).在x轴上有一点M,满足||=||,GM=λ(λ∈R)(若△ABC的顶点坐标为A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,y₃),则该三角形的重心坐标为G(,).

(1)求点C的轨迹E的方程;

(2)若斜率为k的直线l与(1)中的曲线E交于不同的两点P、Q,且||=||,试求斜率k的取值范围.

Answer 1

解:(1)设C(x,y),则G(,).

∵=λ(λ∈R),∴GM∥AB.又M是x轴上一点,则M(,0).又∵||=||,

∴(=.

整理,得+y²=1(x≠0).

(2)①当k=0时,l与椭圆C有两个不同的交点P、Q,

根据椭圆的对称性,有|AP|=|AQ|,符合题意.

②当k≠0时,可设l的方程为y=kx+m,联立方程组消去y整理,得

(1+3k²)x²+6kmx+3(m²-1)=0.(*)

∵直线l和椭圆交于不同的两点,

∴Δ=(6km)²-4(1+3k²)×3(m²-1)＞0,

即1+3k²-m²＞0.(**)   

设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),则x₁、x₂是方程(*)的两相异实根.

∴x₁+x₂=,x₁·x₂=.

则PQ的中点N(x₀,y₀)的坐标是x₀=,y₀=,

即N(,).又||=||,

∴AN⊥PQ.∴m=.将m=代入(**)式,得k²＜1.∴k∈(-1,0)∪(0,1).

综上①②,得k的取值范围是(-1,1).