Question

（2008•南京模拟）某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将四本由不同作者所著的外国名著A、B、C、D与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线．每连对一个得3分，连错得-1分，一名观众随意连线，他的得分记作ξ．
（1）求该观众得分ξ为非负的概率；
（2）求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得：其连对题目的个数为：0，1，2，4，所以ξ的可能取值为-4，0，4，12，再分别计算出其得分为非负的概率，进而得到答案．
（2）由题意可得：P（ξ=-4）=

9

A 4 4

=

9

24

，再结合（1）可得ξ的分布列与其数学期望．

解答：解：（1）因为直接计算ξ的数值比较困难，
所以首先计算其连对题目的个数．
根据题意可得：其连对题目的个数为：0，1，2，4，
所以ξ的可能取值为-4，0，4，12．  …（1分）
因为名观众随意连线，所以有A₄⁴种不同的连法，
所以P（ξ=12）=

1

A 4 4

=

1

24

；…（3分）
P（ξ=4）=

C 2 4

A 4 4

=

6

24

=

1

4

；…（5分）
P（ξ=0）=

C 1 4 ×2

A 4 4

=

8

24

=

1

3

；…（7分）
所以该同学得分非负的概率为P（ξ=12）+P（ξ=4）+P（ξ=0）=

15

24

=

5

8

．…（8分）
（2）由题意可得：P（ξ=-4）=

9

A 4 4

=

9

24

=

3

8

．
所以ξ的分布列为：

ξ	-4	0	4	12
P	3 8	1 3	1 4	1 24

…（10分）
所以数学期望Eξ=-4×

3

8

+4×

1

4

+12×

1

24

=0．…（12分）

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握排列、组合与计数原理的有关知识，以及等可能事件的概率公式与离散型随机变量的分布列、数学期望等知识，此题属于中档题，是高考命题的热点之一．