Question

【题目】设函数，其中为自然对数的底数.

（1）当时，判断函数的单调性；

（2）若直线是函数的切线，求实数的值；

（3）当时，证明：.

Answer 1

【答案】（1）在区间上单调递增.（2）（3）见证明

【解析】

（1）先由解析式，得到函数定义域，对函数求导，根据，即可得出结果；

（2）先设切点为，根据切线方程为，得到，再对函数求导，得到，设，用导数方法研究其单调性，得到最值，即可求出结果；

（3）先对函数求导，设，用导数方法研究单调性，进而可判断出单调性，即可得出结论成立.

解：（1）函数的定义域为.

因为，所以，

所以在区间上单调递增.

（2）设切点为，则，

因为，所以，得，

所以.

设，则，

所以当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以.

因为方程仅有一解，

所以.

（3）因为，

设，则，所以在单调递增.

因为，，

所以存在，使得.

当时，，，单调递减，

当时，，，单调递增，

所以.

因为，所以，，

所以.