Question

如图，已知椭圆E的中心为O，长轴的两个端点为A，B，右焦点为F，且

AF

=7

FB

，椭圆E的右准线l的方程为x=

16

3

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若N为准线l上一点（在x轴上方），AN与椭圆交于点M，且

AN

•

MF

=0，

AM

=λ

MN

，求λ．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：

分析：（Ⅰ）利用

AF

=7

FB

，求出3a=4c，利用椭圆E的右准线l的方程为x=

16

3

，求出

a2

c

=

16

3

，联立求出a，c，可得b，即可求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）由

AN

•

MF

=0，可得（x+4）（3-x）-y²=0，即y²=-x²-x+12，利用M满足

x2

16

+

y2

7

=1，求出M的横坐标，根据

AM

=λ

MN

，可得

20

9

+4=λ（

16

3

-

20

9

），即可求出λ．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则
∵

AF

=7

FB

，
∴a+c=7（a-c），
∴3a=4c①，
∵椭圆E的右准线l的方程为x=

16

3

，
∴

a2

c

=

16

3

②
解①②可得a=4，c=3，
∴b²=a²-c²=7，
∴椭圆E的标准方程为

x2

16

+

y2

7

=1；
（Ⅱ）设M（x，y），由

AN

•

MF

=0，可得（x+4）（3-x）-y²=0，
∴y²=-x²-x+12，
∴M满足

x2

16

+

y2

7

=1，
消去y，可得9x²+16x-80=0，
解得x=

20

9

或x=-4（舍去）
∵

AM

=λ

MN

，
∴

20

9

+4=λ（

16

3

-

20

9

），
∴λ=2．

点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．