Question

已知函数f(x)=ax3-

3

2

x2+1(x∈R)，其中a＞0．
（1）、若x=1是y=f（x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）、若曲线y=f（x）与x轴有3个不同交点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）的解析式，求出f（x）的导函数，根据x=1是f（x）的一个极值点，把x=1代入导函数中，得到的导函数值为0，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，把a的值代入到f（x）及导函数中，分别确定出f（x）和导函数得解析式，把x=2代入f（x）中求出f（2）即为切点的纵坐标，从而确定出切点坐标，把x=2代入到导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，由切点与斜率写出切线方程即可；
（2）令导函数小于0求出x的取值范围即为函数的递减区间，令导函数大于0求出x的取值范围即为函数的递增区间，根据函数的增减性得到函数的极大值与极小值，要使函数图象与x轴有3个不同的交点，即要极小值小于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f(x)=ax3-

3

2

x2+1(x∈R)，
∴f′（x）=3ax²-3x，
∵x=1是y=f（x）的一个极值点，∴f′（1）=3a-3=0，∴a=1，
∴f(x)=x3-

3

2

x2+1(x∈R)，f′（x）=3x²-3x，
∴f（2）=2³-

3

2

×2²+1=3，f′（2）=3×2²-3×2=6，
∴在点（2，3）处的切线方程为y-3=6（x-2），即6x-y-9=0；
（2）设f′（x）=3ax²-3x＜0，则0＜x＜

1

a

，
设f′（x）=3ax²-3x＞0，则x＜0或x＞

1

a

，
故y=f（x）在（0，

1

a

）上单调递减，在（-∞，0）∪（

1

a

，+∞）上单调递增，
∴当x=0时，f（x）有极大值为1，当x=

1

a

时，f（x）有极小值为1-

1

2a2

，
要使图象与x轴有3个不同交点，则1-

1

2a2

＜0，∴0＜a＜

2

2

．

点评：此题考查了利用导数研究曲线上过某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，进而根据函数的增减性得到函数的极值．要求学生理解切点横坐标对应的导函数值为切线方程的斜率，及导函数得正负决定函数的增减性．