Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{x-1}，x≤0}\\{（x-1）^{2}，0＜x≤2}\\{3-x，2＜x＜4}\end{array}\right.$
（1）写出函数f（x）的定义域，值域；
（2）当方程f（x）=a有两解时，求a的值；
（3）当方程f（x）=a有最多解时，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先写出定义域，再分段求y的取值，从而求值域；
（2）根据（1）中的分析作出函数的图象，从而利用数形结合解得；
（3）利用数形结合解得．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（-∞，4）；
当x≤0时，0＜-$\frac{2}{x-1}$≤2；
当0＜x≤2时，0≤（x-1）²≤1；
当2＜x＜4时，-1＜3-x＜1；
故函数的值域为[-1，2]．
（2）由（1）作出函数f（x）的图象如下，

结合图象可知，当方程f（x）=a有两解时，a=1或a=0；
（3）结合图象可知，当方程f（x）=a有最多解时，
0＜a＜1．

点评 本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用．