Question

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1，设a≤-2，求不等式f（x）≤a+5-4x的解集．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：将问题转化为求（a+1）lnx+ax²+4x-a-4≤0的解集，令g（x）=（a+1）lnx+ax²+4x-a-4，通过求导得g（x）在（0，+∞）递减，而g（1）=0，进而求出不等式的解集．

解答： 解：∵f（x）=（a+1）lnx+ax²+1，
∴（a+1）lnx+ax²+1≤a+5-4x，
∴（a+1）lnx+ax²+4x-a-4≤0，
令g（x）=（a+1）lnx+ax²+4x-a-4，
g′（x）=

a+1

x

+2ax+4
=

2ax2+4x+(a+1)

x

=

2a(x+ 1 a )2+ (a+2)(a-1) a

x

，
∵a≤-2，∴2a(x+

1

a

)2＜0，

(a+2)(a-1)

a

＜0
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）单调递减，
当x=1时，g（1）=0，
∴x≥1时，g（x）≤0，
∴等式f（x）≤a+5-4x的解集是：{x|x≥1}．

点评：本题考查了导数的应用，函数的单调性，考查了转化思想，是一道综合题．