Question

设函数f（x）=x+

1

x

（x∈（-∞，0）∪（0，+∞））的图象为c₁，c₁关于点A（2，1）的对称图象为c₂，c₂对应的函数为g（x）．
（1）求函数g（x）的解析式，并确定其定义域；
（2）若直线y=b与c₂只有一个交点，求b的值，并求出交点坐标．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的值域

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）设g（x）图象上任一点P（x，y）以及P关于A（2，1）的对称点P'（x'，y'），根据点关于点对称的性质，用p的坐标表示P'的坐标，再把P'的坐标代入f（x）的解析式进行整理，求出g（x）解析式；
（2）对x进行分类讨论，利用基本不等式求出函数g（x）的最值，从而求出b的值和交点的坐标．

解答： 解：（1）设函数g（x）的图象上任一点P（x，y），且P关于A（2，1）的对称点P'（x'，y'）；
则

x+x′ 2 =2 y+y′ 2 =1

，解得

x′=4-x y′=2-y

，
∵点P'在函数f（x）=x+

1

x

的图象上，∴2-y=（4-x）+

1

4-x

，
即g（x）=（x-4）+

1

x-4

+2；
（2）当x-4＞0时，即x＞4，（x+4）+

1

x-4

≥2，当且仅当x=5时取“=”；
此时g（x）取到最小值4，
∵直线y=b与C₂只有一个公共点，∴b=4，且交点坐标是（5，4）；
当x-4＜0时，即x＜4，-[（x-4）+

1

x-4

]≥2，即（x-4）+

1

x-4

≤-2，
此时g（x）取到最大值0，当且仅当x=3时取“=”；
∵直线y=b与C₂只有一个公共点，∴b=0，且交点坐标是（3，0）；
综上，b的值及交点坐标分别为4，（5，4）或0，（3，0）．

点评：本题考查了用代入法求函数的解析式，利用点关于点对称的性质求函数的解析式，利用基本不等式的性质求函数的最值问题，是有关函数的综合问题．