Question

设d为实数，d≠0且d≠-1，数列{a_n}中a₁=d，当n≥2时，a_n=

C

0 n-1

d+

C

1 n-1

d²+…+

C

n-2 n-1

d^n-1+

C

n-1 n-1

dⁿ，数列{b_n}对任何正整数n都有：a_nb₁+a_n-1b₂+a_n-2b₃+…a₂b_n-1+a₁b_n=2ⁿ⁺¹-n-2．
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）判断数列{b_n}是否是等差数列，若是请求出通项公式；若不是，说明理由．
（Ⅲ）若d=1，c_n=

3bn-1

3bn-2

，证明：c₁c₂…c_n＞

3	3n+1

．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）n≥2时，a_n=

C

0 n-1

d+

C

1 n-1

d²+…+

C

n-2 n-1

d^n-1+

C

n-1 n-1

dⁿ，=d（1+d）^n-1，因为d≠0且d≠-1，∴a_n≠0，所以{a_n}是以d为首项，d+1为公比的等比数列；
（Ⅱ）因为对任何正整数n都有：a_nb₁+a_n-1b₂+a_n-2b₃+…a₂b_n-1+a₁b_n=2ⁿ⁺¹-n-2，所以对任何正整数n，n≥2时，a_n-1b₁+a_n-2b₂+a_n-3b₃+…a₂b_n-2+a₁b_n-1=2ⁿ-n-1，
对任何正整数n，n≥2时，（2ⁿ-n-1）（1+d）+dbn=2n+1-n-2，可推得对任何正整数n，bn=

1-d

d

×2n+n+

d-1

d

，bn+1-bn=

1-d

d

•2n+1，然后分d=1和d≠1两种情况，讨论数列{b_n}是不是等差数列．
（Ⅲ）由Ⅱ知，当d=1时，b_n=n，cn=

3n-1

3n-2

，逐步推得

3n-1

3n-2

＞

3	3n+1 3n-2

，所以c₁c₂…c_n＞

3	4 1

3	7 4

3	10 7

…

3	3n+1 3n-2

=

3	3n+1

成立．

解答： 证明：（Ⅰ）n≥2时，a_n=

C

0 n-1

d+

C

1 n-1

d²+…+

C

n-2 n-1

d^n-1+

C

n-1 n-1

dⁿ，=d（1+d）^n-1，
∵a₁=d吻合上式，∴a_n=d（1+d）^n-1，
∵d≠0且d≠-1，∴a_n≠0，
所以{a_n}是以d为首项，d+1为公比的等比数列；
（Ⅱ）因为对任何正整数n都有：a_nb₁+a_n-1b₂+a_n-2b₃+…a₂b_n-1+a₁b_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
所以对任何正整数n，n≥2时，a_n-1b₁+a_n-2b₂+a_n-3b₃+…a₂b_n-2+a₁b_n-1=2ⁿ-n-1，
对任何正整数n，n≥2时，（2ⁿ-n-1）（1+d）+dbn=2n+1-n-2，
bn=

1-d

d

×2n+n+

d-1

d

（n≥2），
又db1=22-1-2=1，b1=

1

d

吻合上式，
∴对任何正整数n，bn=

1-d

d

×2n+n+

d-1

d

，
bn+1-bn=

1-d

d

•2n+1，
当d=1时，数列{b_n}是等差数列，其通项公式是b_n=n；
当d≠1时，数列{b_n}不是等差数列．
（Ⅲ）由Ⅱ知，当d=1时，b_n=n，cn=

3n-1

3n-2

，
∴

3n-1

3n-2

＞

3n

3n-1

＞

3n+1

3n

＞0，
∴(

3n-1

3n-2

)3＞

3n+1

3n-2

，
即

3n-1

3n-2

＞

3	3n+1 3n-2

，
∴c₁c₂…c_n＞

3	4 1

3	7 4

3	10 7

…

3	3n+1 3n-2

=

3	3n+1

．

点评：本题主要考查了等差数列、等比数列的性质，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题．