Question

如图，在圆内画1条线段，将圆分割成两部分；画2条相交线段，将圆分割成4部分；画3条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，将圆最多分割成11部分．

（1）记在圆内画n条线段，将圆最多分割成a_n部分，归纳出a_n+1与a_n的关系；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，根据a_n+1与a_n的关系及数列的知识，证明你的猜想是否成立．

Answer 1

考点：数学归纳法,进行简单的合情推理

专题：推理和证明

分析：（1）由题意可得 a₁=2，a₂=4，a₃=7，a₄=11，再由a₂-a₁=2，a₃-a₂=3，a₄-a₃=4，归纳可得结论（2）猜想数列{a_n}的通项公式为a_n=

n2+n+2

2

，n∈N，再用数学归纳法进行证明．

解答： 解：（1）由题意可得 a₁=2，a₂=4，a₃=7，a₄=11，
显然 a₂-a₁=2，a₃-a₂=3，a₄-a₃=4，归纳可得 a_n+1 -a_n=n+1．
（2）猜想数列{a_n}的通项公式为a_n=

n2+n+2

2

，n∈N．
证明：①当n=1时，a_n=

n2+n+2

2

成立，
②假设 a_k=

k2+k+2

2

，再根据a_k+1 -a_k=k+1，
可得a_k+1=a_k+k+1=

k2+k+2

2

+k+1=

k2+3k+4

2

=

(k+1)2+(k+1)+2

2

，
故当n=k+1时，a_n=

n2+n+2

2

，n∈N 仍然成立．
结合①②可得，数列{a_n}的通项公式为a_n=

n2+n+2

2

，n∈N．

点评：本题主要考查不完全归纳法的应用，用数学归纳法证明等式，属于中档题．