Question

已知在平面直角坐标系xoy内，点P（x，y）在曲线C：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ为参数）上运动．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+

π

4

）=0．
（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，求△ABM面积的最大值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可把极坐标方程化为直角坐标方程；
（II）利用点到直线的距离公式可得圆心（1，0）到直线l的距离d=，由于圆上的点M到直线的最大距离为d+r，再利用弦长公式可得|AB|=2

r2-d2

，利用△ABM面积的最大值=

1

2

|AB|(d+r)即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由曲线C：

x=1+cosθ y=sinθ

，消去参数θ化为普通方程为：（x-1）²+y²=1，
由直线l的极坐标方程为ρcos（θ+

π

4

）=0，展开化为

2

2

ρcosθ-

2

2

ρsinθ=0，
∴直线l的直角坐标方程：y=x．
（Ⅱ）圆心（1，0）到直线l的距离d=

1

2

=

2

2

，
则圆上的点M到直线的最大距离为d+r=

2

2

+1，∴|AB|=2

r2-d2

=2

12-( 2 2 )2

=

2

，
∴△ABM面积的最大值=

1

2

|AB|(d+r)=

1

2

×

2

×(

2

2

+1)=

2 +1

2

．

点评：本小题主要考查参数方程、极坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于难题．