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已知椭圆C:(a>b>0),过点(0,1),且离心率为
(1)求椭圆C的方程;
(2)A,B为椭圆C的左右顶点,直线lx=2x轴交于点D,点P是椭圆C上异于A,B的动点,直线AP,BP分别交直线l于E,F两点.证明:当点P在椭圆C上运动时,恒为定值.

(1),(2)1.

解析试题分析:(1)求椭圆标准方程,基本方法为待定系数法.只需两个独立条件确定即可. 由b=1,可解得a=2,故椭圆的方程为,(2)证明椭圆定值问题,实际是以算代征.即需计算出为一个常数.由于点D在x轴上,所以,即只需计算E,F两点纵坐标. 由直线AP: 与直线l:x=2的交点得: ,即,同理可得,因此==1。
试题解析:(1)由题意可知,b=1,
又因为,且a2=b2+c2,解得a=2
所以椭圆的方程为                  4
(2)由题意可得:A(﹣2,0),B(2,0).
设P(x0,y0),由题意可得:﹣2<x0<2,
所以直线AP的方程为             6
,则,即        8
同理:直线BP的方程为,令,则
         10
所以
=                    ..12
,即4y02=4﹣x02,代入上式,
所以|DE|·|DF|=1,所以|DE|·|DF|为定值1.                14
考点:椭圆标准方程,直线与椭圆位置关系

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