Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与．当直线斜率为0时，．

（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围．

Answer 1

（1），（2）．

解析试题分析：（1）求椭圆标准方程，只需两个独立条件. 一个是,另一个是点在椭圆上即，所以．所以椭圆的方程为．（2）研究直线与椭圆位置关系，关键确定参数，一般取直线的斜率，① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知，② 当两弦斜率均存在且不为0时，设直线的方程为，将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得，所以．同理，．所以，利用不等式或函数单调性可得的取值范围是综合①与②可知，的取值范围是．
【解】（1）由题意知，，，
所以．              2分
因为点在椭圆上，即，
所以．
所以椭圆的方程为．                                6分
（2）① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
由题意知；                                       7分
② 当两弦斜率均存在且不为0时，设，，
且设直线的方程为，
则直线的方程为．
将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得，
所以，，
所以．                         10分
同理，．
所以，           12分
令，则，，，
设，
因为，所以，
所以，
所以．
综合①与②可知，的取值范围是．               16分
考点：椭圆的方程及椭圆与直线的位置关系．