已知椭圆的长轴长为,离心率为,分别为其左右焦点.一动圆过点,且与直线相切.
(1)(ⅰ)求椭圆的方程;(ⅱ)求动圆圆心轨迹的方程;
(2)在曲线上有四个不同的点,满足与共线,与共线,且,求四边形面积的最小值.
(1)(ⅰ);(ⅱ) ;(2). 四边形面积的最小值为.
解析试题分析:(1)(ⅰ)由题意,,再结合解出的值从而得到椭圆的标准方程;(ⅱ)由条件“动圆过点,且与直线相切”知动圆圆心到定点的距离等于到定直线的距离,且定点不在定直线上,所以动圆圆心的轨迹是以为焦点,以为准线的抛物线;
(2)由题设知直线和直线互相垂直相交于点,且分别与物抛线有两个交点,因此两直线的斜率均存在且不为零,所以解决问题的基本思路是以其中一条直线的斜率为自变量,利用直线与抛物线相交的位置关系,将四边形的面积表示成直线斜率的函数,转化为函数的最值问题.
试题解析:(1)(ⅰ)由已知可得
则所求椭圆方程 3分
(ⅱ)由已知可得动圆圆心的轨迹为抛物线,且抛物线 的焦点为 ,准线方程为 ,则动圆圆心轨迹方程为 6分
(2)由题设知直线 的斜率均存在且不为零
设直线的斜率为, 则直线的方程为:
联立
消去 可得 8分
由抛物线这义可知:
10分
同理可得 11分
又(当且仅当时取到等号)
所以四边形面积的最小值为. 14分
考点:1、椭圆的标准方程;2、抛物线的定义与标准方程;3、直线与抛物线的位置关系综合.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知双曲线C:离心率是,过点,且右支上的弦过右焦点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)求弦的中点的轨迹E的方程;
(3)是否存在以为直径的圆过原点O?,若存在,求出直线的斜率k 的值.若不存在,则说明理由.
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已知、为椭圆的左右焦点,点为其上一点,且有
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过的直线与椭圆交于、两点,过与平行的直线与椭圆交于、两点,求四边形的面积的最大值.
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已知椭圆,过点且离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知是椭圆的左右顶点,动点M满足,连接AM交椭圆于点P,在x轴上是否存在异于A、B的定点Q,使得直线BP和直线MQ垂直.
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如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的离心率为,过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与.当直线斜率为0时,.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的取值范围.
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设椭圆的中心和抛物线的顶点均为原点,、的焦点均在轴上,过的焦点F作直线,与交于A、B两点,在、上各取两个点,将其坐标记录于下表中:
(1)求,的标准方程;
(2)若与交于C、D两点,为的左焦点,求的最小值;
(3)点是上的两点,且,求证:为定值;反之,当为此定值时,是否成立?请说明理由.
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设:的准线与轴交于点,焦点为;椭圆以为焦点,离心率.设是的一个交点.
(1)当时,求椭圆的方程.
(2)在(1)的条件下,直线过的右焦点,与交于两点,且等于的周长,求的方程.
(3)求所有正实数,使得的边长是连续正整数.
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已知抛物线的焦点为,点为抛物线上的一点,其纵坐标为,.
(1)求抛物线的方程;
(2)设为抛物线上不同于的两点,且,过两点分别作抛物线的切线,记两切线的交点为,求的最小值.
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