已知
、
为椭圆
的左右焦点，点
为其上一点，且有
.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）过的直线
与椭圆
交于
、
两点，过与平行的直线
与椭圆交于、
两点，求四边形
的面积
的最大值.
（1）
；（2）
.
解析试题分析：（1）设椭圆的标准方程为
，先利用椭圆定义得到
的值并求出
的值，然后将点
的坐标代入椭圆方程求出
的值，最终求出椭圆的方程；（2）根据平行四边形的几何性质得到
，即先求出
的面积的最大值，先设直线
的方程为
，且
、
，将此直线的方程与椭圆的方程联立，结合韦达定理将的面积表示成只含
的表达式，并利用换元法将代数式进行化简，最后利用基本不等式并结合双勾函数的单调性来求出面积的最大值，从而确定平行四边形面积的最大值.
（1）设椭圆的标准方程为，
由已知
得
，
，
又点在椭圆上，
，
椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知，四边形为平行四边形 ，
设直线的方程为，且、，
由
得
，
，
，
，
，
令
，则
，
，
又
在
上单调递增，
，
的最大值为
，
所以的最大值为.
考点：1.椭圆的定义与方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.韦达定理；4.基本不等式
激活思维优加课堂系列答案
活力试卷系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知圆
的圆心在坐标原点
，且恰好与直线
相切，设点A为圆上一动点，
轴于点
，且动点
满足
，设动点的轨迹为曲线
（1）求曲线C的方程，
（2）直线l与直线l，垂直且与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
：
（
）过点
，且椭圆的离心率为
．
（1）求椭圆的方程；
（2）若动点
在直线
上，过作直线交椭圆于
两点，且为线段
中点，再过作直线
．求直线
是否恒过定点，如果是则求出该定点的坐标，不是请说明理由。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
设椭圆C1：
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为为
，
恰是抛物线C2：
的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且｜MF2｜=
．
（1）求C1的方程；
（2）平面上的点N满足
，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若
，求直线l的方程．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
给定椭圆
．称圆心在原点O，半径为
的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到F的距离为
．
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线
，使得
与椭圆C都只有一个交点，试判断是否垂直？并说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，椭圆上的点到焦点的最小距离为
，离心率
.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线
交于、
两点，点
，问是否存在
，使
?若存在求出的值，若不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的长轴长为
，离心率为
，
分别为其左右焦点．一动圆过点
，且与直线
相切．
（1）(ⅰ)求椭圆
的方程；（ⅱ)求动圆圆心轨迹
的方程；
（2）在曲线上有四个不同的点
，满足
与
共线，
与
共线，且
，求四边形
面积的最小值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，已知平面内一动点
到两个定点
、
的距离之和为
，线段
的长为
.
（1）求动点的轨迹
；
（2）当
时，过点作直线
与轨迹交于、
两点，且点在线段的上方，线段
的垂直平分线为
①求
的面积的最大值；
②轨迹上是否存在除、外的两点
、
关于直线对称，请说明理由.
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的顶点作射线
与抛物线交于
，若
，求证：直线
过定点．