如图,已知平面内一动点到两个定点、的距离之和为,线段的长为.
(1)求动点的轨迹;
(2)当时,过点作直线与轨迹交于、两点,且点在线段的上方,线段的垂直平分线为
①求的面积的最大值;
②轨迹上是否存在除、外的两点、关于直线对称,请说明理由.
(1)参考解析;(2)①;②参考解析
解析试题分析:(1)由于c的大小没确定,所以点A的轨迹,根据c的大小有三种情况.
(2)①由可得点A的轨迹方程为椭圆,求的面积的最大值即求出点A到直线距离的最大值.即点A在椭圆的上顶点上即可.本小题通过建立三角函数同样可以求得三角形面积最大时的情况.
②当时,显然存在除、外的两点、关于直线对称.当直线AC不垂直于时,不存在除、外的两点、关于直线对称.通过假设存在,利用点差法即可得到,.由于H,M分别是两条弦的中点,并且都被直线m平分.所以.由.所以不存在这样的直线.
试题解析:(1)当即时,轨迹是以、为焦点的椭圆3分
当时,轨迹是线段4分
当时,轨迹不存在5分
(2)以线段的中点为坐标原点,以所在直线为轴建立平面直角坐标系,
可得轨迹的方程为7分
①解法1:设表示点到线段的距离
,8分
要使的面积有最大值,只要有最大值
当点与椭圆的上顶点重合时,
的最大值为10分
解法2:在椭圆中,设,记
点在椭圆上,由椭圆的定义得:
在中,由余弦定理得:
配方,得:
从而
得8分
根据椭圆的对称性,当最大时,最大
当点与椭圆的上顶点重合时,
最大值为10分
②结论:当时,显然存在除、外的两点、关于直线对
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已知、为椭圆的左右焦点,点为其上一点,且有
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过的直线与椭圆交于、两点,过与平行的直线与椭圆交于、两点,求四边形的面积的最大值.
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设椭圆的中心和抛物线的顶点均为原点,、的焦点均在轴上,过的焦点F作直线,与交于A、B两点,在、上各取两个点,将其坐标记录于下表中:
(1)求,的标准方程;
(2)若与交于C、D两点,为的左焦点,求的最小值;
(3)点是上的两点,且,求证:为定值;反之,当为此定值时,是否成立?请说明理由.
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设:的准线与轴交于点,焦点为;椭圆以为焦点,离心率.设是的一个交点.
(1)当时,求椭圆的方程.
(2)在(1)的条件下,直线过的右焦点,与交于两点,且等于的周长,求的方程.
(3)求所有正实数,使得的边长是连续正整数.
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已知椭圆C:+=1的离心率为,左焦点为F(-1,0),
(1)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线L与椭圆C交于M,N两点,若,求直线L的方程;
(2)椭圆C上是否存在三点P,E,G,使得S△OPE=S△OPG=S△OEG=?
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已知椭圆(a>b>0)的离心率为,且过点().
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线l:y=kx+t与圆(1<R<2)相切于点A,且l与椭圆E只有一个公共点B.
①求证:;
②当R为何值时,取得最大值?并求出最大值.
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椭圆c:(a>b>0)的离心率为,过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1,
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的左右顶点分别为A,B,点P是直线x=1上的动点,直线PA与椭圆的另一个交点为M,直线PB与椭圆的另一个交点为N,求证:直线MN经过一定点.
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已知抛物线的焦点为,点为抛物线上的一点,其纵坐标为,.
(1)求抛物线的方程;
(2)设为抛物线上不同于的两点,且,过两点分别作抛物线的切线,记两切线的交点为,求的最小值.
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的内切圆与三边的切点分别为,已知,内切圆圆心,设点A的轨迹为R.
(1)求R的方程;
(2)过点C的动直线m交曲线R于不同的两点M,N,问在x轴上是否存在一定点Q(Q不与C重合),使恒成立,若求出Q点的坐标,若不存在,说明理由.
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