Question

13．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，记b_n=$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为T_n，若对任意正整数n恒有2S_n=a${\;}_{n}^{2}$+a_n成立，则T₄₈=6．

Answer 1

分析 对任意正整数n恒有2S_n=a${\;}_{n}^{2}$+a_n成立，可得a₁=1．当n≥2时，a_n-a_n-1=1，利用等差数列的通项公式可得a_n=n，可得b_n=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，再利用“累加求和”即可得出．

解答 解：对任意正整数n恒有2S_n=a${\;}_{n}^{2}$+a_n成立，
∴2a₁=${a}_{1}^{2}$+a₁，a₁＞0，解得a₁=1．
当n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1）=${a}_{n}^{2}+{a}_{n}$-$（{a}_{n-1}^{2}+{a}_{n-1}）$，
化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
∴b_n=$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=$（\sqrt{2}-1）$+$（\sqrt{3}-\sqrt{2}）$+…+$（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）$=$\sqrt{n+1}$-1．
∴T₄₈=$\sqrt{49}$-1=6．
故答案为：6．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．