Question

8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x（1-x），若数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，且a_n+1=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$，则f（-a₂₀₁₆）（　　）

• A． 2
• B． -2
• C． 6
• D． -6

Answer 1

分析 根据${a}_{1}=\frac{1}{2}$，且${a}_{n+1}=\frac{1}{1-{a}_{n}}$可求数列{a_n}的前四项，从而会发现该数列是以3为周期的周期数列，利用函数奇偶性和周期性的关系即可求f（-a₂₀₁₆）的值．

解答 解：由${a}_{1}=\frac{1}{2}$，且${a}_{n+1}=\frac{1}{1-{a}_{n}}$得：
${a}_{2}=\frac{1}{1-{a}_{1}}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$，
${a}_{3}=\frac{1}{1-{a}_{2}}=\frac{1}{1-2}=-1$，
${a}_{4}=\frac{1}{1-{a}_{3}}=\frac{1}{1-（-1）}=\frac{1}{2}$，…；
∴数列{a_n}是以3为周期的周期数列；
∴a₂₀₁₆=a_671×3+3=a₃=-1；
∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x（1-x），
∴f（-a₂₀₁₆）=-f（a₂₀₁₆）=-f（-1）=-（-1）（1+1）=2，
故选：A

点评 本题主要考查函数值的计算，根据数列的递推关系得到数列的周期性，利用函数的奇偶性和周期性的关系进行转化求解即可．