Question

16．已知f（x）=e^x-2ax，g（π）=-ax-b，其中a＞0，设两函数y=f（x）与y=g（x）的图象有公共点，且在该点处相切．
（1）用a表示b；
（2）试证明不等式f（x）≥g（x）

Answer 1

分析 （1）设出函数的公共点，对两个函数求导，根据两个函数在这个点上的切线相同，以及切点满足方程，整理得出b的关系式；
（2）构造新函数，对两个函数做差，构造新函数，对新函数求导，得到函数在正数范围上的单调性，求出最小值，最小值等于0，得到不等式的证明．

解答 解：（1）设函数f（x）与函数g（x）的图象有公共点（m，n）
又f′（x）=e^x-2a，g′（x）=-a，
可得e^m-2a=-a，即m=lna，
又n=-am-b=e^m-2am，
可得b=am-e^m=alna-a；
（2）证明：设h（x）=f（x）-g（x）=e^x-2ax-（-ax-b）
=e^x-ax+alna-a，
h′（x）=e^x-a，当x＞lna时，h′（x）＞0，h（x）递增；
当x＜lna时，h′（x）＜0，h（x）递减．
可得x=lna处取得极小值，也为最小值a-alna+alna-a=0，
可得h（x）≥0，即f（x）≥g（x）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用转化思想，构造函数，考查运算能力，属于中档题．