Question

11．已知sinθ+cosθ=$\frac{2}{3}$，且0＜θ＜π，求sin2θ，cos2θ，tan2θ的值．

Answer 1

分析 sinθ+cosθ=$\frac{2}{3}$，两边平方可得：sin2θ=-$\frac{5}{9}$．由0＜θ＜π，可得$\frac{3π}{4}＜θ＜π$，$\frac{3π}{2}＜2θ＜2π$．再利用同角三角函数基本关系式即可得出．

解答 解：∵sinθ+cosθ=$\frac{2}{3}$，两边平方可得：1+2sinθcosθ=$\frac{4}{9}$，化为：sin2θ=-$\frac{5}{9}$．
由0＜θ＜π，可得$\frac{3π}{4}＜θ＜π$．
∴$\frac{3π}{2}＜2θ＜2π$．
∴cos2θ=$\sqrt{1-si{n}^{2}2θ}$=$\frac{2\sqrt{14}}{9}$，
tan2θ=$\frac{sin2θ}{cos2θ}$=-$\frac{-5\sqrt{14}}{28}$．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式、象限角的三角函数值的符号，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．