Question

20．已知，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=2，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=2，
（1）求|$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$|
（2）若点C满足$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，求三角形ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据条件即可求出$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}{|}^{2}$的值，从而可求出$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$的值；
（2）根据$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2$即可求得∠AOB=60°，从而得出△AOB为等边三角形，可取AB中点D，从而可求出OD=$\sqrt{3}$，并且OD⊥AB．而由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$可得到$\overrightarrow{OC}=-2\overrightarrow{OD}$，这样即得出C，O，D三点共线，并且可求得CD=$3\sqrt{3}$，这样即可求出△ABC的面积．

解答 解：（1）$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}{|}^{2}={\overrightarrow{OA}}^{2}+2\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+{\overrightarrow{OB}}^{2}$=4+4+4=12；
∴$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=2\sqrt{3}$；
（2）$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|cos∠AOB=4cos∠AOB=2$；
∴$cos∠AOB=\frac{1}{2}$；
∴∠AOB=60°；
如图，△AOB，∠AOB=60°，OA=OB=2，取AB中点D，连接OD；
△AOB为等边三角形，∴AB=2，且OD⊥AB；
由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$得，$\overrightarrow{OC}=-（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）=-2\overrightarrow{OD}$；
∴C，O，D三点共线，且$OC=2OD=2\sqrt{3}$；
∴$CD=3\sqrt{3}$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×3\sqrt{3}=3\sqrt{3}$．

点评 考查通过求$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}{|}^{2}$而求$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$的方法，向量数量积的计算公式，已知三角函数值求角，等边三角形的中线也是高线，向量的数乘运算，向量数乘的几何意义，以及三角形的面积公式．