Question

19．方程9^x+|3^x+b|=5（b∈R）有一个正实数解，则b的取值范围为（　　）

• A． （-5，3）
• B． （-5.25，-5）
• C． [-5，5）
• D． 前三个都不正确

Answer 1

分析 化简9^x+|3^x+b|=5可得3^x+b=5-9^x或3^x+b=-5+9^x，从而讨论以确定方程的根的个数，从而解得．

解答 解：∵9^x+|3^x+b|=5，
∴|3^x+b|=5-9^x，
∴3^x+b=5-9^x或3^x+b=-5+9^x，
①若3^x+b=5-9^x，则b=5-3^x-9^x，
其在（-∞，0）上单调递减，
故当b≤3时，无解，
当3＜b＜5时，有一个解，
当b≥5时，无解；
②若3^x+b=-5+9^x，则b=-5-3^x+9^x=（3^x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{21}{4}$，
∵x∈（-∞，0）时，0＜3^x＜1，
∴当-$\frac{21}{4}$＜b＜-5时，有两个不同解；
当b=-$\frac{21}{4}$时，有一个解；
综上所述，b的取值范围为（-5.25，-5），
故选B．

点评 本题考查了绝对值方程的解法与应用，属于中档题．