Question

6．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}ln（x+1），x＞0\\ \frac{1}{2}x+1，x≤0\end{array}\right.$，若m＜n，且f（m）=f（n），则n-m的取值范围是（　　）

• A． [3-2ln2，2）
• B． [3-2ln2，2]
• C． [e-1，2]
• D． [e-1，2）

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象如图：利用消元法转化为关于n的函数，构造函数求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值即可得到结论．

解答 解：作出函数f（x）的图象如图：
若m＜n，且f（m）=f（n），
则当ln（x+1）=1时，得x+1=e，即x=e-1，
则满足0＜n≤e-1，-2＜m≤0，
则ln（n+1）=$\frac{1}{2}$m+1，即m=2ln（n+1）-2，
则n-m=n+2-2ln（n+1），
设h（n）=n+2-2ln（n+1），0＜n≤e-1
则h′（n）=1-$\frac{2}{n+1}$=$\frac{n+1-2}{n+1}$=$\frac{n-1}{n+1}$，
当h′（x）＞0得1＜n≤e-1，
当h′（x）＜0得0＜n＜1，
即当n=1时，函数h（n）取得最小值h（1）=1+2-2ln2=3-2ln2，
当n=0时，h（0）=2-2ln1=2，
当n=e-1时，h（e-1）=e-1+2-2ln（e-1+1）=1+e-2=e-1＜2，
则3-2ln2≤h（n）＜2，
即n-m的取值范围是[3-2ln2，2），
故选：A

点评 本题主要考考查分段函数的应用，构造函数求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．