Question

14．如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
（1）若N是BC的中点，证明：AN∥平面CME；
（2）证明：平面BDE⊥平面BCD．
（3）求三棱锥D-BCE的体积．

Answer 1

分析 （1）连接MN，则MN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，由侧视图可知AE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，故MN$\stackrel{∥}{=}$AE，于是四边形ANME为平行四边形，得出AN∥EM，于是AN∥平面BDE；
（2）由AB=AC可得AN⊥BC，由侧面BCD⊥底面ABC可得AN⊥平面BCD，故而EM⊥平面BCD，于是平面BDE⊥平面BCD；
（3）以平面BCD为棱锥的底面，则EM为棱锥的高，利用直棱柱的结构特征计算棱锥的底面积和高，得出体积．

解答 （1）证明：连接MN，则MN是△BCD的中位线，∴MN∥CD，MN=$\frac{1}{2}$CD．
由侧视图可知AE∥CD，AE=$\frac{1}{2}$CD，
∴MN=AE，MN∥AE
∴四边形ANME为平行四边形，
∴AN∥EM．∵AN?平面CME，EM?平面CME，
∴AN∥平面CME．
（2）证明：由俯视图可知AC=AB，∵N是BC的中点，
∴AN⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AN?平面ABC，
∴AN⊥平面BCD．由（1）知AN∥EM，
∴EM⊥平面BCD．又EM?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCD．
（3）解：由俯视图得AB⊥AC，AB=AC=2，
∴BC=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∵N是BC中点，∴AN=$\frac{1}{2}BC=\sqrt{2}$，∴EM=$\sqrt{2}$．
由侧视图可知CD=4，CD⊥BC，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}BC•CD$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×4$=4$\sqrt{2}$．
∴V_D-BCE=V_E-BCD=$\frac{1}{3}$S_△BCD•|EM|=$\frac{1}{3}$×4$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，面面垂直的性质与判定，棱锥的体积计算，属于中档题．