Question

19．已知O为原点，抛物线y=3-x²（y≥0）和平行于x轴的直线交于不同两点A、B，那么当△ABO的面积达到最大值时，A、B的坐标分别为（　　）

• A． （3，1）（-2，1）
• B． （0，1）（1，1）
• C． （1，0）（-1，0）
• D． （1，2）（-1，2）

Answer 1

分析 可作出图形，并设平行于x轴的直线为y=m，（0＜m＜3），从而可得出$AB=2\sqrt{3-m}$，这样即可求得${S}_{△ABO}=\sqrt{3-m}•m$，可设$f（m）=\sqrt{3-m}•m（0＜m＜3）$，根据导数即可得出m=2时f（m）取到最大值，即△ABO的面积达到最大值，从而便可得出A，B两点的坐标．

解答 解：如图，设平行于x轴的直线方程为y=m（0＜m＜3），带入y=3-x²得，$x=±\sqrt{3-m}$；
∴$AB=2\sqrt{3-m}$；
∴${S}_{△ABO}=\sqrt{3-m}•m$；
设$f（m）=\sqrt{3-m}•m$，$f′（m）=\frac{3（2-m）}{2\sqrt{3-m}}$，0＜m＜3；
∴0＜m＜2时，f′（m）＞0，2＜m＜3时，f′（m）＜0；
∴m=2时，f（m）取得最大值2；
即此时△ABO的面积达到最大值；
∴此时A，B点的坐标分别为（-1，2），（1，2）．
故选D．

点评 考查直线和曲线交点的坐标与直线方程和曲线方程形成方程组解的关系，二次函数图象的平移变换，三角形的面积公式，以及根据函数导数符号判断函数取得最值的方法，注意正确求导．