【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,直线
(
)与椭圆
交于
,
两点(点
在
轴的上方).
(1)若,求
的面积;
(2)是否存在实数使得以线段
为直径的圆恰好经过坐标原点
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在实数
,使得以线段
为直径的圆恰好经过坐标原点
【解析】
(1)由椭圆方程求得,得
,由直线方程与椭圆方程联立可解得交点坐标,当然这里只要得出
点的纵坐标,即可求得三角形面积;
(2)这类问题,都是假设存在实数使得以线段
为直径的圆恰好经过坐标原点
,则有
.设
,
,从而有
,把直线方程与椭圆方程联立消元后可得
,代入
,求得
值,说明存在,求不出
值说明假设错误,不存在。
(1)设椭圆的半焦距为,因为
,
,
,所以
,
,
,
联立化简得
,解得
或
,又点
在
轴的上方,所以
,所以
,
所以的面积为
.
(2)假设存在实数使得以线段
为直径的圆恰好经过坐标原点
,则有
.
设,
,
联立消去
得
,(*)
则,
.
由,所以
,即
,
整理得,
所以,解得
.
经检验时(*)中
,
所以存在实数,使得以线段
为直径的圆恰好经过坐标原点
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某客户考察了一款热销的净水器,使用寿命为十年,改款净水器为三级过滤,每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中,一级滤芯需要不定期更换,其中每更换个一级滤芯就需要更换
个二级滤芯,三级滤芯无需更换.其中一级滤芯每个
元,二级滤芯每个
元.记一台净水器在使用期内需要更换的二级滤芯的个数构成的集合为
.如图是根据
台该款净水器在十年使用期内更换的一级滤芯的个数制成的柱状图.
(1)结合图,写出集合;
(2)根据以上信息,求出一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于元的概率(以
台净水器更换二级滤芯的频率代替
台净水器更换二级滤芯发生的概率);
(3)若在购买净水器的同时购买滤芯,则滤芯可享受折优惠(使用过程中如需再购买无优惠).假设上述
台净水器在购机的同时,每台均购买
个一级滤芯、
个二级滤芯作为备用滤芯(其中
,
),计算这
台净水器在使用期内购买滤芯所需总费用的平均数.并以此作为决策依据,如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数也为
个,则其中一级滤芯和二级滤芯的个数应分别是多少?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】关于函数,
.有下列命题:
①对,恒有
成立.
②,使得
成立.
③“若,则有
且
.”的否命题.
④“若且
,则有
.”的逆否命题.
其中,真命题有_____________.(只需填序号)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知等差数列的公差
,数列
满足
,集合
.
(1)若,求集合
;
(2)若,求
使得集合
恰好有两个元素;
(3)若集合恰好有三个元素:
,
是不超过7的正整数,求
的所有可能的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知的圆心为
,
的圆心为
,一动圆与圆
内切,与圆
外切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)过点的直线交曲线
于
两点,交直线
于点
,是否存在实数
,使得
成立?若存在,求出实数
的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成两组,每组100只,其中
组小鼠给服甲离子溶液,
组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:
记为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于
”,根据直方图得到
的估计值为
.
(1)求乙离子残留百分比直方图中的值;
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
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